cho 0'a'2; 0'b'2;0'c'2 và a+b+c =3 . Chứng minh a^2+b^2+c^2'5. (dấu ' là dấu bé hơn hoặc bằng)
1Cho x,y >1 . Chứng minh : x2/(y-1) + y2/ (x-1) lớn hơn hoặc bằng 8
2 Cho a,b,c,d >=0 . Chứng minh : (a+b)(a+b+c)(a+b+c+d) / abcd lớn hơn hoặc bằng 64
3 Cho a,b,c >= 0 . Chứng minh : (a+b+c)(ab+bc+ac) lớn hơn hoặc bằng 8(a+b)(b+c)(c+a) / 9
4 Cho a,b,c >=0 và a+b+c =1 . Chứng minh : bc/√(a+bc) + ac/√(b+ac) + ab/√(c+ab) bé hơn hoặc bằng 1/2
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
Cho a,b,c là các số lớn hơn hoặc bằng 0 và nhỏ hơn hoặc bằng 2 thỏa mãn a+b+c=3 chứng minh a^2+b^2+c^2 nhỏ hơn hoặc bằng 5
BT1: So sánh hai phân số a-1/a và b+1/b với a và b là các số nguyên cùng dấu
BT2 : Tính A= 2x/3y + 3y/4z + 4z/5t + 5t/2x với các phân số đã liệt kê bằng nhau
BT3 : Cho A = 1/2.3/4. ... .99/100 Chứng minh 1/15 < A < 1/10
BT4 : Tìm các số nguyên dương a b c d thỏa 2 bé hơn hoặc bằng a bé hơn hoặc bằng b bé hơn hoặc bằng c bé hơn hoặc bằng d và (1/2-1/a)+(1/2-1/b)+(1/2-1/c) = 1/2-1/d
BT5 : Tìm số nguyên T lớn nhất không vượt quá 2/ 1/2016+3/2017+5/2018+...+43/2039
1) X thuộc N /
a) B (15) và 40 bé hơn hoặc bằng x nhỏ hơn hoặc bằng 70
b) x dấu chia hết 12 và 0 bé hơn 2 bé hơn hoặc bằng 30
c) 6 dấu chia hết ( x - 1 )
Mk đag cần gấp nên bn nào giải sớm mk tick cho nha, cảm ơn nhiều ^^
-21/3 bé hơn hoặc =x bé hơn hoặc =2
1)Ta có M:
3x^2-6x+17
X^2-2x+5
Tìm giá trị lớn nhất của M
2)cho 3 số a;b;c sao cho 0< hoặc =a< hoặc=2;0< hoặc =b< hoặc =2;0< hoặc =c< hoặc =2 và a+b+c=3 chứng minh rằng a^2+b^2+c^2+abc< hoặc =5
cho a/b=c/d và b,d khác 0 . Chứng minh (a^2+c^2)/(b^2+d^2)=ac/bd
dấu "/" là viết tắt của dấu":"
tìm các số tự nhiên x sao cho
a) x (thuộc) B(12) và 20 (bé hơn hoặc bằng) x (bé hơn hoặc bằng) 50
b) x (dấu chia hết, 3 chấm) 15 và 0<x(bé hơn hoặc bằng) 40
c) x (thuộc) Ư(20) và x>8
d) 16 (dấu chia hết,dấu 3 chấm)
a. \(x\in B\left(12\right)=\left\{0;12;24;36;48;60;...\right\}\)
Mà 20 < x < 50
=> \(x\in\left\{24;36;48\right\}\)
b. \(\Rightarrow x\in B\left(15\right)=\left\{0;15;30;45;...\right\}\)
Mà 0 < x < 40
=> x \(\in\left\{15;30\right\}\)
c. \(x\inƯ\left(20\right)=\left\{1;2;4;5;10;20\right\}\)
Mà x > 8
=> x \(\in\left\{10;20\right\}\)
d. \(\Rightarrow x\inƯ\left(16\right)=\left\{1;2;4;8;16\right\}\)
Cho a,b,c là các số dương không âm thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2=3
Chứng minh: a/a2+2b+3 + b/b2+2c+3 + c/c2+2a+3. <=1/2
Trong đó "/" là đấu phân số, "<=" là dấu bé hơn hoặc bằng
Giải giúp
Ta có : \(a^2+2b+3=a^2+1+2b+2\ge2a+2b+2=2\left(a+c+1\right)\)
\(b^2+2c+3=b^2+1+2c+2\ge2b+2c+2=2\left(b+c+1\right)\)
\(c^2+2a+3=c^2+1+2a+2\ge2c+2a+2=2\left(c+a+1\right)\)
Suy ra \(\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\le\frac{a}{2\left(a+b+1\right)}+\frac{b}{2\left(b+c+1\right)}+\frac{c}{2\left(c+a+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\right)\)
Tương đương \(\frac{3}{2}-\frac{a}{a^2+2b+3}-\frac{b}{b^2+2c+3}-\frac{c}{c^2+2a+3}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\right)\)
Đặt \(M=\frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được : \(M=\frac{\left(b+1\right)^2}{\left(b+1\right)\left(a+b+1\right)}+\frac{\left(c+1\right)^2}{\left(c+1\right)\left(b+c+1\right)}+\frac{\left(a+1\right)^2}{\left(a+1\right)\left(c+a+1\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c+3\right)^2}{\left(a+1\right)\left(a+b+1\right)+\left(c+1\right)\left(b+c+1\right)+\left(a+1\right)\left(c+a+1\right)}\)
Do \(\left(a+1\right)\left(a+b+1\right)+\left(c+1\right)\left(b+c+1\right)+\left(a+1\right)\left(c+a+1\right)=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3\left(a+b+c\right)+3\)\(=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca+3\left(a+b+c\right)+\frac{9}{2}=\frac{1}{2}\left(a+b+c+3\right)^2\)
Từ đó \(M\ge\frac{\left(a+b+c+3\right)^2}{\frac{1}{2}\left(a+b+c+3\right)^2}=2\Rightarrow\frac{3}{2}-\frac{a}{a^2+2b+3}-\frac{b}{b^2+2c+3}-\frac{c}{c^2+2a+3}\ge\frac{1}{2}.2=1\)
\(< =>\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\le\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Bài toán hoàn tất . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
1.a)Cho các số dương a,b,c có tích bằng 1.Chứng minh rằng (a+1)(b+1)(c+1) lớn hơn hoặc bằng 8.
b)Chocacs số a và b không âm.Chứng minh rằng (a+b)(ab+1) lớn hơn hoặc bằng 4ab.
2.Cho các số dương a,b,c,d có tích bằng 1.Chứng minh rằng a bình +b bình +c bình +d bình +ab+cd lớn hơn hoặc bằng 6.
3.Chứng minh rằng nếu a+b+c>0.abc>0.ab+bc+ca>0 thì a>0,b>0,c>0.
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
sai rồi. sửa a+b=a+1, b+c=b+1, a+c=c+1 nha, thông cảm, nhìn sai đề